平均値の検定 (1 グループの t 検定)

1. t 検定
- 1.1. t 検定の目的
- 1.2. z 検定と t 検定

2. 1グループの t 検定と有意水準
- 2.1. 手計算による t 検定
- 2.2. R による t 検定

3. EXERCISE
- 3.1. EXERCISE 1
- 3.2. EXERCISE 2
- 3.3. EXERCISE 3

1. t 検定

1.1. t 検定の目的

1) 標本平均が特定の値かどうか調べる

2) 二つの異なるグループの平均が異なるかどうか調べる

• 前セッションで紹介した中心極限定理によれば、母集団が正規分布していなくても、平均 \(\mu\)，分散 \(\sigma^2\)の母集団からの無作為標本における標準誤差の分布は「標本サイズが十分に大きければ」近似的に正規分布に従う。
  
• しかし、標本サイズが十分に大きいケースばかりとは限らず、少ない標本サイズしか入手できないことが多々ある。
  
• この問題を解決したのが t 検定 を考え出した William Sealy Gosset という元ギネスビール社員。
  
• student’s t という名前で論文を投稿したため、t 検定と呼ばれる。
  
• Gosset は「標本サイズが小さくても」母集団からの無作為標本における標準誤差の分布は \(n-1\) の自由度で t 分布することを発見した。
• この発見のおかげで、小さい標本サイズの場合でも t 分布の特徴を使うことで統計的推計が可能となった。

1.2. z 検定と t 検定

• 標本数が 100 を超える場合、標準正規分布の特徴を使った \(z\) 検定が使われ、標本数が少ないときに限り \(t\) 検定が使われていた。
  
• その理由は、\(t\) 検定の統計量である \(t\) を計算するためには、紙上で大規模な \(t\) 分布表を作成する必要があり、その作業が大変だったから。
  
• しかし、R や Stata など統計ソフトの開発により、の \(t\) 分布表から容易に \(t\) 値を計算できるようになったため、\(z\) 検定は使われなくなった。
  
• 下の \(t\) 分布図が示すように、自由度（degree of freedom: 標本サイズから 1 を引いた値）が大きくなるにつれ \(t\) 検定の結果と \(z\) 検定の結果は近似していき、標本サイズが無限大だと、両分布は同一になる。

2. 1グループの t 検定と有意水準

2.1. 手計算による t 検定

母平均 μ = 5.5 の正規母集団から、10 個のデータ1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 を標本として抽出したとする。

ここで、標本サイズ 10 から得られた標本平均は 5.5 であるが、母平均は 5 なのかどうか確かめたいとする。
これを確かめるために \(t\) 値が必要となる。

t 検定の手順

帰無仮説の明示 (null hypothesis): \(\mathrm{H_0}\)

対抗仮説の明示 (alternative hypothesis): \(\mathrm{H_1}\)

t 値を計算する

帰無仮説を棄却する臨界値 (critical values) を特定する

t 値が棄却域内かどうかを確かめる

結論

具体的な検定プロセス

• まず帰無仮説を設定する
  
• 帰無仮説とは「棄却されるために設定する仮説」
  
• 知りたいのは「サンプル平均は 5.5 だが、母集団の平均は 5 なのか」ということ
  

• 帰無仮説 \(\mathrm{H_0}\)は「母平均 = 5」

• 次に対抗仮説を設定する
  
• 対抗仮説は「母平均は 5 ではない」
  

• 帰無仮説と対抗仮説は相互に排他的 (mutually exclusive)

次に \(t\) 値を計算する。
\(t\) 値は、次の式で求めることができる。

\[T = \frac{\bar{x} - μ_0}{SE} = \frac{\bar{x} - μ_0}{u_x / \sqrt{n}} .\]

• \(\bar{x}\) : 標本平均（ここでは 5.5）
  
• \({μ_0}\) : 母集団で推定したい値（ここでは 5）
• \({n}\) : 標本サイズ（ここでは 10)
• \({u_x}\) : 不偏標準偏差（= 標本標準偏差）
• \({SE}\) : 標準誤差 (standard Error: SE)

不偏標準偏差 \({u_x}\) は不偏分散 (unbiased variance)の平方根であるから、まず、不偏分散を求める。

\(x\) の不偏分散 \(u_x^2\) は次の式で計算できる:

\[u_x^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1}.\]

これより、\(x\) の不偏標準偏差 (unbiased standard diviation) \(u_x\) 3.03 が得られる。

・母集団の平均は 5 なのかということを確かめたい。
→ 母集団で推定したい値 \({μ_0}\) に 5 を代入して、次の \(t\) 値を得る。

\[T = \frac{\bar{x} - μ_0}{u_x / \sqrt{n}}.\]

\[ = \frac{{5.5} - 5}{3.03 / \sqrt{10}}.\]

\[ = 0.522\]

点推定（区間推定に関しては「母平均の推定と信頼区間」を参照）

ここで得られた 0.522 という \(t\) 値を使って 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 という標本サイズ 10 のサンプルから、母集団の母平均が 5 であるという仮説が妥当かどうかを推定する。

\(t\) 分布表

• \(t\) 分布表内の数値は、検定を行う際の有意水準 (significance leve) に対応した棄却限界値を示している。
  
• 標本から得られた \(t\) の絶対値が棄却限界値より大きい場合、帰無仮説を棄却する（両側検定の場合）。
  
• 分布表の横軸は片側検定における有意水準を示している。
  
• 例えば、二列目の「確率95%」は両側検定における有意水準が 5% （α = 0.05）であることを示す。
• \(t\) 検定では両側検定で 5% （α = 0.05）の有意水準を使うのが一般的。
  
• 従って、 \(t\) 分布表二列目の「確率95%」を使う。
  
• 分布表の一列目は自由度 (df: degree of freedom) を示している。
  
• ここでは「標本サイズ 10 から 1 を引いた 9」 が自由度。
  
• 縦軸の 9 と横軸の「確率95%」交差する数字「2.262」が 5% の両側検定における棄却限界値。

これを図示すると次のようになる。
次の図は、自由度 9 の \(t\) 分布における 5% 有意水準（α = 0.05）の 2 つの棄却限界値 (critical value) -2.26 と 2.26 を示している。

• サンプルから得られた \(t\) 値が -2.26 と 2.26 の区間内にあれば、帰無仮説 \(\mathrm{H_0}\)は「母平均 = 5」は棄却できない。
  
• t 値がこの区間外（赤の斜線部分）にあれば、帰無仮説を棄却する。　　
• \(t\) = 0.522 なので、帰無仮説は棄却できない。
  
• 従って、得られたサンプルから判断する限り「母平均 = 5」である可能性を排除できない。
  
• つまり、得られたサンプルから判断する限り「母平均は 5 でありうる」。

有意水準と有意確率
有意水準 (significance level)

• 「有意水準 5 %」が意味するのは、帰無仮説が正しい時、誤って帰無仮説をたまたま棄却してしまう危険性が 5%（100回のうち 5回）存在すること。
  
• 従って、有意水準は「危険率」（α: アルファ）とも呼ばれる。
  
• この過ちは「第一種の過誤」(type I error) と呼ばれる。
  
• 正しい帰無仮説をたまたま誤って棄却してしまう危険が 5% を下回った場合、帰無仮説を棄却（つまり仮説は無に帰した）し、対抗仮説を受け入れる。
  
• 有意水準 = 有意確率と記述している統計学の本やサイトもあるので注意が必要。

有意確率 (significance probability) = \(p\) 値 (p-value):

• 「帰無仮説が正しいとき、検定統計量が標本から得られた \(t\) 値以上に分布の中心からかけ離れた値をとる確率」
  
• \(p\) 値は帰無仮説の下での \(t\) 値の異常性を表しており、 \(p\) 値が小さいほど標本から得られた \(t\) 値が異常ということ。
  
• 従って \(t\) 値の異常性が十分大きい場合（つまり \(p\) 値が十分小さい時に）帰無仮説を棄却する。
  
• \(p\) 値は「帰無仮説が正しい確率」でもないし「対抗仮説が間違っている確率」でもない。
  
• 「帰無仮説が正しい確率」は 0 もしくは 1 のいずれかであり、 \(p\) 値のように 0 と 1 の間の値をとることはありえない。
  
• 真実は帰無仮説が正しいか間違っているかのいずれかであり、帰無仮説が正しいなら「帰無仮説が正しい確率」は 1 であり、そうでないなら「帰無仮説が正しい確率」は 0 である。
  
• 我々は真実（つまり母数）を知らないので、この確率が 0 か 1 かを知ることは不可能。

2.2. R による t 検定

# 標本サイズ 10 のサンプルに score という名前をつける
score <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

# 帰無仮説（母平均 = 5) を t 検定する
t.test(score, mu = 5)

    One Sample t-test

data:  score
t = 0.52223, df = 9, p-value = 0.6141
alternative hypothesis: true mean is not equal to 5
95 percent confidence interval:
 3.334149 7.665851
sample estimates:
mean of x 
      5.5 

• 3 行目に \(t\) = 0.52223、p-value が 0.6141 という結果が得られた。
  
• p-value = 0.6141 は、両側検定の p 値を表している。
• 4 行目に alternative hypothesis: true mean is not equal to 5 と対抗仮説が明示されている。
  
• p-value (0.6141) が 0.05 より大きいので、帰無仮説（「母平均 = 5」）は棄却できない。
  
• もし、p-valueが 0.05 よりも小さければ 5% の有意水準（α = 0.05）で帰無仮説を棄却できる。
• 従って、得られたサンプルから判断する限り「母平均 = 5」である可能性を排除できない。
  
• つまり、得られたサンプルから判断する限り「母平均は 5 でありうる」。

3. EXERCISE

3.1. EXERCISE 1

母平均 \(μ\) = 5.5 の正規母集団から、10 個のデータ1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 を標本として抽出したとする。
ここで、標本サイズ 10 から得られた標本平均は 5.5 であるが、母平均は 3 なのかどうか R を使って確かめなさい。

3.2. EXERCISE 2

早稲田大学政経学部で携帯スマホ購入者 10 人の平均購入価格を調べたところ、次の統計量を得た。

・平均購入価格は 65,000 円。
・標本標準偏差は 10,000 円。

母集団における携帯スマホの平均購入価格は、50,000 円より高いといえるか？
有意水準 5% で検定しなさい。 （電卓と\(t\) 分布表を使って手計算で行うこと）（40点）

3.3. EXERCISE 3

早稲田大学の A 君は、大隈商店街で喫茶店「ルオー」を開いた。A 君は「ルオー」の売上額を正規母集団から観測されるデータをみなし、その母平均μを代表的な売り上げとして 推定しようとした。毎日の売り上げ総額を示す伝票の中からランダムに8 枚を抜き出して みると次のような数字が出てきた。

45, 39, 42, 57, 28, 33, 40, 52（単位は万円）

Q3-1:（20点）
このサンプルを使って、「ルオー」の一日あたり売上額の母平均 \(μ\) の 95％ 信頼区間を求めなさい。（電卓を使って手計算で行うこと）

Q3-2:（20点）
母集団では一日あたりの「ルオー」の売り上げが 50 万円である、という仮説を検定しなさい（電卓と\(t\) 分布表を使って手計算で行うこと）

Q3-3:（20点）
上記の検定を R を使って \(t\) 検定した結果を示しなさい。