13. カイ二乗検定と相関関係

• このセクションで使う R パッケージ一覧

library(corrr)
library(DT)
library(psych)
library(qgraph)
library(tidyverse)

1. カテゴリカル変数間の関連

1.1 クロス表

2 つの質的変数の関連性を示す集計方法  データ情報を失うことなく 2 変数間の関係を分析できる  例）男女間で内閣支持率に差があるか？ 「性別」と「内閣支持率」（仮想データ）

1.2 なぜ \(χ2\) 検定が必要なのか？

• サンプルとして得られたクロス表における観測値と期待値の違いが 偶然得られたのかどうかを確認する必要があるため
  
• その際、ピアソンの \(χ2\) 値を使って検定する

カイ二乗値の求め方

• 「性別」と「内閣支持率」（仮想データ）

1.3 カイ二乗検定

サンプルサイズ (N) が 100 の時

• 帰無仮説：「母集団では男女間で内閣支持率に違いはない」
  
• もしこれが正しいなら、サンプルから得られた統計量 \(χ2\) 値は \(χ2\) 分布に従う
  
• \(χ2\) の分布は自由度 (df: degree of freedom) によって異なる

• degree of freedom (df) :
  

• ここでは 2 つの変数（gender & support）がある　　

• gender には「男性」と「女性」という 2 つの選択の「自由」がある
  

• support には「支持」と「不支持」という 2 つの選択の「自由」がある
  

• この場合の「自由度」は次の式で求める
  

• degree of freedom = (2-1)*(2-1) = 1
  → ここでの「自由度」は 1

• 95%信頼区間（=5％で統計的に有意）で検定したい場合
  

• 横軸 1 行目の \(χ^2_.050\) と df = 1 が交差する値に注目
  → 3.841 が「臨界値」
  

• サンプルから得られた統計量 \(χ2=4\)

• \(χ2=4\) は臨界値 3.84 よりも大きい
  → 帰無仮説：「母集団では男女間で内閣支持率に違いはない」は棄却

結論 母集団では内閣支持率において男女間で差があり、女性より男性がより支持している

• 上記のカイ二乗検定を R を使ってやってみる 

• chi2_data2.csv をダウンロードし、RProjectフォルダーに保存する 
  

• データのダウンロードが終わったら、データを読み込み cab3 と名前を付ける 

cab2 <- read_csv("data/chi2_data2.csv") 

• データフレーム cab2 を確認する

DT::datatable(cab2)

• R 上で全体に注目したクロス表を表示させる 

total_cab2 <- table(cab2$gender, cab2$support)
addmargins(total_cab2) 

      
       内閣支持 内閣不支持 Sum
  女性       20         30  50
  男性       30         20  50
  Sum        50         50 100

• イェーツの連続性補正は行わないので correct = FALSEとする

chisq.test(cab2$gender, cab2$support, correct = FALSE)

    Pearson's Chi-squared test

data:  cab2$gender and cab2$support
X-squared = 4, df = 1, p-value = 0.0455

• \(χ2=4\)
  
• \(p-value = 0.0455\)
  → 帰無仮説：「母集団では男女間で内閣支持率に違いはない」は棄却 （5%で統計的に有意）

結論 母集団では内閣支持率において男女間で差があり、女性より男性がより支持している

サンプルサイズ (N) が 50 の時

• サンプルサイズが半分の 50 の時はどうなるか？

• Download chi2_data3.csv

cab3 <- read_csv("data/chi2_data3E.csv") 

DT::datatable(cab3)

• クロス表を作成してみる

table_cab3 <- table(cab3$gender, cab3$support)
addmargins(table_cab3) 

        
         not_support support Sum
  female          15      10  25
  male            10      15  25
  Sum             25      25  50

• \(χ^2\)検定を実行

chisq.test(cab3$gender, cab3$support, 
           correct = FALSE)

    Pearson's Chi-squared test

data:  cab3$gender and cab3$support
X-squared = 2, df = 1, p-value = 0.1573

• イェーツの連続性補正は行わないので correct = FALSEとする

chisq.test(cab3$gender, cab3$support, correct = FALSE)

    Pearson's Chi-squared test

data:  cab3$gender and cab3$support
X-squared = 2, df = 1, p-value = 0.1573

• \(χ2=2\)
  
• \(p-value = 0.1573\)
  → 帰無仮説：「母集団では男女間で内閣支持率に違いはない」は棄却できない

結論 母集団では内閣支持率において男女間で差があるとはいえない

ポイント サンプルサイズ (N) が小さいと統計的有意性が得にくくなる

1.5 フィシャーの直接確率計算法

• フィシャーの直接確率計算法を R を使ってやってみる 

• chi2_data4.csvをダウンロードし、RProjectフォルダーに保存する 
  

• データのダウンロードが終わったら、データを読み込み cab4 と名前を付ける 

cab4 <- read_csv("data/chi2_data4.csv") 

• データフレーム cab4 を確認する

DT::datatable(cab4)

• R 上で全体に注目したクロス表を表示させる

total_cab4 <- table(cab4$gender, cab4$support)
addmargins(total_cab4) 

      
       支持 不支持 Sum
  女性    2      3   5
  男性    1      2   3
  Sum     3      5   8

• フィッシャーの直接確率計算法
  
• alternative で片側検定（女性の支持 > 男性の支持）を指定
  
• 「女性 < 男性」を検定するときは alternative=“greater” とする

fisher.test(total_cab4, alternative = "less")

    Fisher's Exact Test for Count Data

data:  total_cab4
p-value = 0.8214
alternative hypothesis: true odds ratio is less than 1
95 percent confidence interval:
  0.00000 57.49631
sample estimates:
odds ratio 
  1.286637 

2. 数量変数間の関連

2.1 相関関係の種類・散布図・相関係数

• 2 つの量的変数が共に変化する関係が「相関関係」(correlation)
  
• 三種類の相関関係

1. 正の相関（例：勉強時間の長さと成績）
   
2. 負の相関（例：アルバイト時間の長さと成績）
   
3. 無相関（例：大学から自宅までの距離と、授業への出席回数）
   これら 3 種類の相関関係を散布図 (scatterplot) で表してみる

• 相関係数 は 2 つの量的変数間の「直線的 (linear)」な関係の強さを表す
  → 相関係数「1」は強い正の相関、相関係数「マイナス 1 」は強い負の相関、相関係数「 0 」 は無相関（直線的な関係がない）を表す
  →　2 つの変数 x と y の相関係数は次の式で表せる

• ピアソンの相関係数 \(r\) は次のようにも表記できる

Definition of Peason Correlation Coefficient

Source: https://www.analyticsvidhya.com/blog/2021/01/beginners-guide-to-pearsons-correlation-coefficient/

2.2 相関係数を使った統計的仮説検定

• R 上でデータを入力する 

x <- c(1, 5, 10)
y <- c(1, 2, 10)

• 2 つの変数 x, y に xy というデータフレーム名を付ける 

xy <-data.frame(x, y)

• 2 つの変数 x, y の散布図を描く 

plot(x ~ y)

• 回帰直線を加え、もう少しきれいな図を描きたければ ggplot2 を使う 

library("ggplot2")

xy %>% 
  ggplot(aes(x, y)) + 
  geom_point() +
  stat_smooth(method = lm, se = FALSE) 

• 2 つの変数 x, y の相関係数を求める 

cor(x, y)

[1] 0.936599

• 2 つの変数 x, y の相関係数と p 値を求める 

cor.test(x, y)

    Pearson's product-moment correlation

data:  x and y
t = 2.6729, df = 1, p-value = 0.2279
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
sample estimates:
     cor 
0.936599 

• x と y の相関係数（= 0.936599)
• p 値（= 0.2279）
• p 値（= 0.2279）（つまり 22.79％）が意味していること
  
• 帰無仮説：「x と y の相関係数は 0」が正しいとすれば、このようなデータが出現する確率は 22.79％という意味
• P 値 が a = 0.05（= 5％ の有意水準）を超えているため、帰無仮説は棄却できない
  
• つまり、統計的には x と y の相関関係は認められない、という結論になる

3. 相関関係と因果関係

・相関関係があるからといって、必ずしも因果関係があるとは限らない 
・次の2 つの変数の相関を調べてみる

・x 軸・・・選挙区ごとに候補者が費やした選挙費用合計：千万円
・y 軸・・・選挙区ごとの投票率：%

・人工的に架空のデータを作ってみる
・50%の確率 (.5) で 0 か 1 の値を 100 個、無作為に抽出し comp と名前を付ける

set.seed(12345)           # 乱数を固定  
comp <- rbinom(100, 1, .5)

• set.seed(12345)を入れなければ、試行の度に異なる変数が作成される
  
• ここでは同じ結果を得るためにこのコマンドを指定
  
• 括弧の中には任意の数字を入れることが可能（試して見て下さい）
  
• ここで作成した変数 comp をヒストグラムで表示してみる

hist(comp)

• 選挙費用合計を 100 個、無作為に抽出し money と名前を付ける
  
• サンプルを取り出す元になる母平均と母標準偏差を任意に指定する

money <- rnorm(100, mean = 0.4 + 0.5*comp, sd = 0.2) 

• 投票率を 100 個、無作為に抽出し turnout と名前を付ける
  
• サンプルを取り出す元になる母平均と母標準偏差を任意に指定する

turnout <- rnorm(100, mean = 0.4 + 0.3*comp, sd = 0.1)

• 人工的に作り出した 3 つの変数をデータフレームに入れ df と名前を付け、データを表示する

df <- data.frame(money = money,
                 turnout = turnout,
                 comp = as.factor(comp))
head(df)

      money   turnout comp
1 0.7919228 0.5380672    1
2 1.2895385 0.7548398    1
3 0.9107181 0.7195282    1
4 0.9703326 0.6193502    1
5 0.2658047 0.3891376    0
6 0.4555907 0.3749053    0

tail(df)

        money   turnout comp
95  0.9031711 0.6893631    1
96  1.0080339 0.7771104    1
97  0.5905416 0.9747404    1
98  1.0699306 0.6916065    1
99  0.5792026 0.4543568    0
100 0.4277382 0.4752861    0

• DTパッケージを使って、データ全体を確認

DT::datatable(df)

・「選挙費用の合計」を x 軸、「投票率」を y 軸とした散布図と回帰直線を描いてみる

df %>% 
  ggplot(aes(x = money, y = turnout)) +
  geom_point() +
  geom_smooth(se = FALSE, method = 'lm') +
  labs(x = "選挙費用の合計（千万円）", y = "投票率") +
  theme_bw(base_family = "HiraKakuProN-W3") # 文字化け対策  

・相関係数を確認すると

cor.test(money, turnout)

    Pearson's product-moment correlation

data:  money and turnout
t = 7.5656, df = 98, p-value = 2.118e-11
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 0.4664265 0.7179987
sample estimates:
      cor 
0.6072149 

• money と turnout の相関係数は 0.6072149
  
• p 値（= 2.118e-11 = 0.00000000002118)
  
• p 値（= 2.118e-11 = 0.000000002118%）（つまりほぼ％）が意味していること
  
• 帰無仮説：「x と y の相関係数は 0」が正しいとすれば、このようなデータが出現する確率はほぼ 0 ％という意味
  
• P 値 が a = 0.01（= 1％ の有意水準）以下なので、帰無仮説は棄却、対抗仮説を受容する
  
• つまり、統計的には x と y の相関関係は偶然ではない、という結論になる
  ・money と turnout の間には正の「相関関係」がある
  ・money と turnout の間には正の「因果関係」はあるのか？

・もし両者の間に「因果関係」があり、「選挙費用の合計」が「投票率」を上げているのであれば
→ 投票率を上げるために、候補者は選挙費用を多く使う必要がある
・ここでは、次の 4 つの可能性が存在する（詳細は「 セレクションバイアスと Rubin の因果モデル（理論）」を 参照）

・ここで第 3 の要因として選挙の「接戦度」が考えられる
・「接戦度」は説明変数と応答変数の両方に影響を与えている 交絡因子

・無風選挙区と比べると、接戦の選挙区では選挙運動でより多くのお金が使われる 
・無風選挙区と比べると、接戦の選挙では投票率が高い 
→ 接戦では、選挙でお金が多く使われ、投票率が高い
→ 無風では、選挙でお金があまり使われず、投票率が低い
・「接戦の選挙区」（青色）と「無風の選挙区」（赤色）に分けてプロットしてみる

df %>% 
  ggplot(aes(money, turnout))  + 
  geom_point(aes(color = comp)) + 
  geom_smooth(method = lm, 
              se = FALSE, 
              aes(color = comp)) +
  labs(x = "選挙費用（千万円）", y = "投票率 (%)") + 
  scale_color_discrete(name = "接戦度",
                       labels = c("無風区","接戦区")) +
  theme_bw(base_family = "HiraKakuProN-W3") 

解釈 ・選挙の接戦度を考慮した結果
→ 選挙費用と投票率には直接的な因果関係はない

✔ 因果推論に関する詳しい解説は次のセクションを参照して下さい:

因果推論
・14. セレクションバイアスと Rubin の因果モデル（理論）
・15. セレクションバイアス（通院と健康状態のシミュレーション）
・16. ランダム化比較試験: RCT
・17. 因果効果推定のための回帰分析 　

3.1 相関係数の可視化

• qgraphパッケージを使って相関関係を可視化してみる
  

• 分析に使うデータ：2009年〜2014年衆院選データ hr96_17.csv を読み込む 

• na = "." は欠損処理

hr <- read_csv("data/hr96-17.csv", 
               na = ".")           # 欠損処理

・2009年衆院選データから、特定の変数だけを抜き出す 

names(hr)

 [1] "year"          "pref"          "ku"            "kun"          
 [5] "mag"           "rank"          "wl"            "nocand"       
 [9] "seito"         "j_name"        "name"          "term"         
[13] "gender"        "age"           "exp"           "status"       
[17] "vote"          "voteshare"     "eligible"      "turnout"      
[21] "castvotes"     "seshu_dummy"   "jiban_seshu"   "nojiban_seshu"

exppv （有権者一人あたり選挙費用）の作成

• exp と eligible のデータ型を確認する

str(hr$exp)

 num [1:8803] 9828097 12940178 11245219 12134215 11894801 ...

str(hr$eligible)

 num [1:8803] 346774 338310 331808 315704 319846 ...

• どちらも数値型 (numeric) で問題ない
• exp と eligible を使って、有権者 1 人あたりに使う選挙費用 (exppv) を作る

hr <- hr %>% 
  dplyr::mutate(exppv = exp/eligible) # eligible は小選挙区ごとの有権者数

summary(hr$exppv)

    Min.  1st Qu.   Median     Mean  3rd Qu.     Max.     NA's 
  0.0013   8.1762  18.7646  23.0907  33.3863 120.8519     1974 

hr2009 <- hr %>%
  dplyr::filter(year == 2009) %>% 
  dplyr::select(age, nocand, rank, wl, term, vote, voteshare, eligible, exp, exppv)

・データの様子を表示させる 

names(hr2009)

 [1] "age"       "nocand"    "rank"      "wl"        "term"      "vote"     
 [7] "voteshare" "eligible"  "exp"       "exppv"    

head(hr2009)

# A tibble: 6 x 10
    age nocand  rank    wl  term   vote voteshare eligible     exp exppv
  <dbl>  <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>  <dbl>     <dbl>    <dbl>   <dbl> <dbl>
1    46      5     1     1     1 122348      54.4   369526 3559575  9.63
2    43      4     1     1     5 162237      66.6   378272 9329593 24.7 
3    51      4     1     1     5 153735      62.2   381361 7901740 20.7 
4    51      4     1     1     4 129382      57.3   373755 6515760 17.4 
5    61      3     1     1     7 158235      62     411827 9843722 23.9 
6    63      5     1     1     1 167697      58.9   416933 5461609 13.1 

summary(hr2009)

      age           nocand           rank             wl        
 Min.   :25.0   Min.   :2.000   Min.   :1.000   Min.   :0.0000  
 1st Qu.:41.0   1st Qu.:3.000   1st Qu.:1.000   1st Qu.:0.0000  
 Median :50.0   Median :4.000   Median :2.000   Median :0.0000  
 Mean   :50.1   Mean   :4.005   Mean   :2.496   Mean   :0.4337  
 3rd Qu.:59.0   3rd Qu.:4.000   3rd Qu.:3.000   3rd Qu.:1.0000  
 Max.   :85.0   Max.   :9.000   Max.   :9.000   Max.   :2.0000  
 NA's   :4                                                      
      term             vote          voteshare        eligible     
 Min.   : 0.000   Min.   :   177   Min.   : 0.10   Min.   :211750  
 1st Qu.: 0.000   1st Qu.:  5992   1st Qu.: 2.40   1st Qu.:298265  
 Median : 1.000   Median : 62034   Median :30.00   Median :352167  
 Mean   : 1.773   Mean   : 61940   Mean   :26.34   Mean   :349973  
 3rd Qu.: 3.000   3rd Qu.:107292   3rd Qu.:47.30   3rd Qu.:405333  
 Max.   :16.000   Max.   :201461   Max.   :95.30   Max.   :487837  
                                                                   
      exp               exppv         
 Min.   :   10024   Min.   :  0.0258  
 1st Qu.: 1794542   1st Qu.:  5.3290  
 Median : 4809437   Median : 13.9190  
 Mean   : 6118181   Mean   : 18.4032  
 3rd Qu.: 9109114   3rd Qu.: 27.3219  
 Max.   :25354069   Max.   :100.8919  
 NA's   :15         NA's   :15        

・age, exp, exppvに NA（欠損値）が含まれていることに注意 

2009年衆院選データ変数間の相関係数を計算し、可視化する

・cor()関数を使って相関係数を表示させる 

corHR <- cor(hr2009, use = "complete.obs") 

• データに NA が含まれている場合は use = "complete.obs と指定
• cor_auto(hr2009) でも計算できる

・計算した相関係数を表示させる

corHR

                  age      nocand        rank          wl        term
age        1.00000000 -0.01949051 -0.18875565  0.06449578  0.47791547
nocand    -0.01949051  1.00000000  0.35882406 -0.19173305 -0.14344423
rank      -0.18875565  0.35882406  1.00000000 -0.58585349 -0.55754845
wl         0.06449578 -0.19173305 -0.58585349  1.00000000  0.46182147
term       0.47791547 -0.14344423 -0.55754845  0.46182147  1.00000000
vote       0.19315400 -0.20289537 -0.86695872  0.63917654  0.61620626
voteshare  0.20543012 -0.23982316 -0.89626914  0.68207240  0.63755734
eligible  -0.02675139  0.19908259  0.06906283 -0.11248525 -0.03591333
exp        0.30790965 -0.15181589 -0.61620242  0.40505780  0.62596021
exppv      0.28775237 -0.18464384 -0.59240696  0.42901652  0.59550590
                vote   voteshare    eligible         exp      exppv
age        0.1931540  0.20543012 -0.02675139  0.30790965  0.2877524
nocand    -0.2028954 -0.23982316  0.19908259 -0.15181589 -0.1846438
rank      -0.8669587 -0.89626914  0.06906283 -0.61620242 -0.5924070
wl         0.6391765  0.68207240 -0.11248525  0.40505780  0.4290165
term       0.6162063  0.63755734 -0.03591333  0.62596021  0.5955059
vote       1.0000000  0.96092467  0.14578029  0.66201463  0.5686694
voteshare  0.9609247  1.00000000 -0.05370451  0.69213847  0.6667191
eligible   0.1457803 -0.05370451  1.00000000 -0.06058169 -0.2921183
exp        0.6620146  0.69213847 -0.06058169  1.00000000  0.9498970
exppv      0.5686694  0.66671908 -0.29211834  0.94989701  1.0000000

・相関係数を可視化する

cor1 <- qgraph(
  corHR,
  graph = "glasso",
  sampleSize = nrow(hr2009),
  tuning = 0,
  layout = "spring",
  title = "Correlations among variables of HR elections",
  details = TRUE
)

・正の相関は緑色で、負の相関は赤色で表示される 
・色が濃いほど相関関係が強い 

・cor1 の図に “cor_hr2009.pdf” という名前を付けて保存する 

qgraph(cor1,
       filetype = 'pdf',
       filename = "cor_hr2009",
       height = 5,
       width = 10)

4. Exercise

• 2008年に実施された自民党の政権担当能力に関する世論調査結果の一部（JGSS-2008.csv)をダウンロードして下の問題にこたえなさい
  
• この世論調査で使われた変数は次のとおり 

serial	:シリアル番号
gender	:「男性」「女性」
eval	:自民党の政権能力を評価するなら「評価する」、評価しないなら「評価しない」

Q1: R を使って、行の観測度数に注目したクロス表を出力しなさい 
（クロス表を出力するに至るRコマンドと出力を明記すること　　

Q2: このサンプルから、母集団でも女性より男性の方が、自民党の政権担当能力を高く評価していると言えるだろうか？適切な帰無仮説と対抗仮説を明示すること 

5. Exercise

R の datasets パッケージ women は米国女性の平均身長と体重のサンプルである 

data(women)
women <- data.frame(women)
women

   height weight
1      58    115
2      59    117
3      60    120
4      61    123
5      62    126
6      63    129
7      64    132
8      65    135
9      66    139
10     67    142
11     68    146
12     69    150
13     70    154
14     71    159
15     72    164

Q1: height と weight の単位を次のように変換し、表示しなさい 
・height の単位 (inch) を cm に変換 
・1 inch は 2.54 cm 
・weight の単位 (pound) を kg に変換 
・1 pound は約0.4536 kg 

Q2: height を x 軸、weight を y 軸として回帰直線を加えた散布図を描きなさい 

Q3: height と weight の相関係数を求めなさい  また二変数に関して母集団における統計的有意性を検定しなさい 

Q4: height と weight は相関関係、因果関係どちらの関係があると考えられるか  またその理由を簡潔に述べなさい 

6. Exercise

R の datasets パッケージ cars は車のスピード (speed) とブレーキを踏んだ時に停止するまでに必要な距離 (dist) のデータである 

data(cars)
cars

   speed dist
1      4    2
2      4   10
3      7    4
4      7   22
5      8   16
6      9   10
7     10   18
8     10   26
9     10   34
10    11   17
11    11   28
12    12   14
13    12   20
14    12   24
15    12   28
16    13   26
17    13   34
18    13   34
19    13   46
20    14   26
21    14   36
22    14   60
23    14   80
24    15   20
25    15   26
26    15   54
27    16   32
28    16   40
29    17   32
30    17   40
31    17   50
32    18   42
33    18   56
34    18   76
35    18   84
36    19   36
37    19   46
38    19   68
39    20   32
40    20   48
41    20   52
42    20   56
43    20   64
44    22   66
45    23   54
46    24   70
47    24   92
48    24   93
49    24  120
50    25   85

Q1: speed と dist の単位を次のように変換し、表示しなさい 
・speed の単位（mile per hour）を kilo meter per hour に変換 
・1 mile は 1.6 km 
・dist の単位 (foot) を meter に変換 
・1 foot は約0.3048 m 

Q2: speed を x 軸、dist を y 軸として回帰直線を加えた散布図を描きなさい 

Q3: speed と dist の相関係数を求めなさい  また二変数に関して母集団における統計的有意性を検定しなさい 

Q4: speed と dist は相関関係、因果関係どちらの関係があると考えられるか  またその理由を簡潔に述べなさい 

7. Exercise

• 衆議院議員総選挙の得票データ hr96-17.csv を使って次の問題に答えなさい
  
• hr96-17.csv には次の 25 の変数が含まれている

変数名	詳細
1. year	選挙年 (1996-2017)
2. pref	都道府県名
3. ku	小選挙区名
4. kun	小選挙区
5. mag	選挙区定数（小選挙区では全て 1）
6. rank	当選順位
7. nocand	立候補者数
8. seito	候補者の所属政党
9. j_name	候補者の氏名（日本語）
10. name	候補者の氏名（ローマ字）
11. term	当選回数
12. gender	立候補者の性別: “male”, “female”
13. age	立候補者の年齢
14. wl	選挙の当落: 1 = 小選挙区当選、2 = 復活当選、0 = 落選
15. wlsmd	選挙の当落: 1 = 当選（小選挙区）、0 = 落選（小選挙区）
16. exp	立候補者が使った選挙費用（総務省届け出）
17. status	候補者のステータス: 0 = 非現職、1 現職、2 = 元職
18. vote	得票数
19. voteshare	得票率 (%)
20. eligible	小選挙区の有権者数
21. turnout	小選挙区の投票率 (%)
22. castvote	小選挙区で投じられた総票数
23. seshu_dummy	世襲候補者ダミー: 1 = 世襲、0 = 非世襲（地盤世襲 or 非世襲）
24. jiban_seshu	地盤の受け継ぎ元の政治家の氏名と関係
25. nojiban_seshu	世襲元の政治家の氏名と関係

• これらの変数から2012年衆院選データを抜き出して次の 9 つの変数を選び、設問に答えなさい 

\[age, nocand, rank, wl, term, vote, voteshare, eligible, exp\]

Q1: 「立候補者が使った選挙費用」(exp) を「小選挙区の有権者数 」(eligible) で割って得られた変数「有権者一人あたりに費やす選挙費用（円）」(exppv) を作成し、データフレームに付け加え、exppv の記述統計量を示しなさい

Q2: 10の変数それぞれの相関関係を計算し表示しなさい 

Q3: qgraph パッケージを使って、10 の変数間の相関関係を可視化しなさい 

参考文献

宋財泫 (Jaehyun Song)・矢内勇生 (Yuki Yanai)「私たちのR: ベストプラクティスの探究」

土井翔平（北海道大学公共政策大学院）「Rで計量政治学入門」

矢内勇生（高知工科大学）授業一覧

浅野正彦, 矢内勇生.『Rによる計量政治学』オーム社、2018年

浅野正彦, 中村公亮.『初めてのRStudio』オーム社、2018年

Winston Chang, R Graphics Cookbook, O’Reilly Media, 2012.

Kieran Healy, DATA VISUALIZATION, Princeton, 2019

Kosuke Imai, Quantitative Social Science: An Introduction, Princeton University Press, 2017